Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AA1＝2，P为CC1的中点.

（1）证明：AB1⊥平面PA1B；

（2）设E为BC的中点，线段AB1上是否存在一点Q，使得QE∥平面A1ACC1？若存在，求四棱锥Q﹣AA1C1C的体积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；体积

【解析】

解法一：（1）证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1.

连接PA，PB1，PO，推出PO⊥AB1，然后证明AB1⊥平面PA1B.

（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.连接A1C，说明QE∥平面AA1C1C.Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半，转化求解几何体的体积即可.

解法二：（1）证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1.连接B1C交BP于F点，推出BB1⊥平面ABC，AC⊥BB1.结合AC⊥BC，证明AC⊥平面BB1C1C，证明BP⊥平面AB1C，然后证明A1B⊥平面PA1B.

（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.

取AB中点M，连接QM，ME，说明Q到平面A1ACC1的距离等于E到平面A1ACC1的距离，利用等体积法转化求解即可.

解法三：（1）设A1B交AB1于点O，说明A1ABB1为正方形，

得到A1B⊥AB1，连接PA，PB1，PO，推出PO⊥AB1，证明PO⊥平面ABB1A1.得到平面PA1B⊥平面ABB1A1.即可证明AB1⊥平面PA1B.（2）同方法一

解：解法一：（1）证明：在△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

又直三梭柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则A1ABB1为正方形，

设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1.

连接PA，PB1，PO，

∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则，，

故PA＝PB1.

∴PO⊥AB1，

∵PO∩A1B＝O，且PO，A1B平面PA1B，

∴AB1⊥平面PA1B.

（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.

理出如下：

连接A1C，∵E为BC的中点，∴则QE∥A1C，

∵QE平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，

∴QE∥平面AA1C1C.

此时，Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半，

又，

∴.

解法二：（1）证明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则A1ABB1为正方形，

设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1.

连接B1C交BP于F点，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

∵AC平面ABC，∴AC⊥BB1.

又AC⊥BC，BC∩BB1＝B，BC，BB1平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C，

∵BP平面BB1C1C，∴AC⊥BP，

在矩形BB1C1C中，P为CC1的中点，则，，

由CC1∥BB1得△CPF∽△BB1F，∴，

∴，，∴PF2+CF2＝PC2，故B1C⊥PB，

又AC⊥BP，AC∩B1C＝C，AC，B1C平面AB1C，∴BP⊥平面AB1C，

∵AB1平面AB1C，∴AB1⊥BP.

又A1B⊥AB1，A1B∩BP＝B，A1B，BP平面PA1B，∴A1B⊥平面PA1B.

（2）当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面A1ACC1.

理由如下：

取AB中点M，连接QM，ME，又CE＝BE，∴ME∥AC，

∵ME平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，

∴ME∥平面A1ACC1.

同理可得QM∥平面A1ACC1.

又∵ME∩QM＝M，ME，QM平面QME，

∴平面QME∥平面A1ACC1，

又∵QE平面QME，

∴QE∥平面A1ACC1.

此时，Q到平面A1ACC1的距离等于E到平面A1ACC1的距离，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∵BC平面ABC，∴CC1⊥BC，

又AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，

∴EC为四棱锥Q﹣AA1C1C的高，.

∴.

解法三：（1）证明：在△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2，

∴，

设A1B交AB1于点O，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，A1ABB1为正方形，

∴O为AB1中点，且A1B⊥AB1.

连接PA，PB1，PO，

∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则，，

故PA＝PB1.

∴PO⊥AB1，

同理可得PO⊥A1B.

又A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面ABB1A1，PO⊥平面ABB1A1.

∵PO平面PA1B，

∴平面PA1B⊥平面ABB1A1.

∵平面PA1B∩平面ABB1A1＝A1B，AB1平面ABB1A1，

∴AB1⊥平面PA1B.

（2）同方法一