Question

【题目】已知函数．

（1）若在处导数相等，证明：为定值，并求出该定值；

（2）已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求出原函数的导函数，结合在处导数相等及根与系数的关系可得，从而求得为定值6；（2）由，可知函数在的图象为下凸，在的图象为上凸，求得函数的极大值点，再由直线过点，然后对分类讨论求使直线与曲线有唯一公共点的实数的取值范围．

（1）证明：，，

由题意得，，

则

；

（2）解：，

函数在的图象为下凸，在的图象为上凸，

记，求得处的切线为，再记，

由，求得的极大值点为，

①当时，直线与曲线显然只有唯一公共点；

②当时，直线斜率为正，且与曲线有三个公共点，舍去；

③当时，直线斜率为正，且与曲线有三个公共点，舍去；

④当时，若，在直线上方，直线与曲线的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；

若，直线与曲线）交于P点，与上凸部分和下凸部分均不相交；

若，在直线下方，直线y=kx+a与曲线的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．

综上，的取值范围为．