【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,已知过点且斜率为1的直线与曲线:(是参数)交于两点,与直线:交于点.
(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(2)若的中点为,比较与的大小关系,并说明理由.
【答案】(1);(2),详见解析
【解析】
(1)将方程消参得到,即为曲线C的普通方程,利用极坐标与直角坐标之间的转化关系,将化为,即为直线的直角坐标方程;
(2)联立消去y得,设点,,则由中点公式,得点M的坐标是,由韦达定理得到点M的坐标是(4,3),联立,求得点N的坐标是,应用两点间距离公式和弦长公式求得与的值,比较可得结果.
(1)由得:
,
故曲线C的普通方程是;
由及公式得,
故直线的直角坐标方程是.
(2)因为直线过点且斜率为1,
所以根据点斜式得,直线的方程为,即.
曲线C:是以点为圆心,为半径的圆,
联立消去y得.
设点,,则由中点公式,得点M的坐标是.
由韦达定理,得,,所以,
所以点M的坐标是(4,3).
联立解得,故点N的坐标是.
所以由两点间的距离公式,得.
所以由弦长公式,得弦长.
因为,
所以.故.
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【题目】某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第6组,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为( )
A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,6
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【题目】数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用,它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯,进而指导人们接下来的行动.
某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员,他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数,如下表:
场次 | 第一场 | 第二场 | 第三场 | 第四场 | 第五场 |
甲 | 28 | 33 | 36 | 38 | 45 |
乙 | 39 | 31 | 43 | 39 | 33 |
(1)根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数,完成茎叶图(茎表示十位,叶表示个位);分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图;
(2)求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差;
(3)主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平,同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l过A,B两点,且这两点的极坐标分别为.
(I)求C的普通方程和的直角坐标方程;
(II)若M为曲线C上一动点,求点M到直线l的最小距离.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C2的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C2的极坐标方程;
(2)设曲线C1与曲线C2的交点分别为A,B,M(﹣2,0),求|MA|2+|MB|2的最大值及此时直线C1的倾斜角.
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【题目】已知椭圆E:(),它的上,下顶点分别为A,B,左,右焦点分别为,,若四边形为正方形,且面积为2.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线,,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形是菱形,求出该菱形周长的最大值.
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