Question

16．当实数m取何值时，方程4x²+（m-2）x+（m-5）=0分别有：
（1）正根绝对值大于负根绝对值？
（2）两根都大于1？

Answer 1

分析 （1）由题意利用二次函数的性质可得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-m}{4}＞0}\\{\frac{m-5}{4}＜0}\end{array}\right.$，由此求得m的范围．
（2）令f（x）=4x²+（m-2）x+（m-5），根据题意可得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-m}{8}＞1}\\{△{=（m-2）}^{2}-16（m-5）＞0}\\{f（1）=2m-3＞0}\end{array}\right.$，求得m∈∅，从而得出结论．

解答 解：（1）方程4x²+（m-2）x+（m-5）=0正根绝对值大于负根绝对值，
等价于两根之和大于零、两根之积小于零，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-m}{4}＞0}\\{\frac{m-5}{4}＜0}\end{array}\right.$，求得m＜2．
（2）令f（x）=4x²+（m-2）x+（m-5），
则方程4x²+（m-2）x+（m-5）=0两根都大于1，等价于 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-m}{8}＞1}\\{△{=（m-2）}^{2}-16（m-5）＞0}\\{f（1）=2m-3＞0}\end{array}\right.$，
求得m∈∅，故不存在实数m满足方程4x²+（m-2）x+（m-5）=0两根都大于1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．