Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，前n项和．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想出通项a_n，并证明．

Answer 1

解：（1）由已知得n=1时，a₁=1，n=2时，所以，n=3时，解得，．
（2）猜想（n∈N^*）．
证明：①当n=1时，由上可知命题成立；
②假设n=k时命题成立，即成立．
由得．
代入假设，得，
∴．
∵a_k+1＞0，
∴．
∴n=k+1时也成立．
综合①②知对任意n∈N^*都成立．
分析：（1）通过n=1，2，3分别求出求a₁，a₂，a₃的值；
（2）根据（1）的结果猜想通项a_n，然后利用数学归纳法证明的证明步骤，证明猜想，①是验证，n=1时，由上可知命题成立；②假设n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系，求出数列的前几项，利用数学归纳法证明猜想的正确性，考查逻辑推理能力．