Question

若函数f（x）=x²+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）处的切线相互垂直，则x₂-x₁的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数的几何意义,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据题意，结合导数的几何意义，得出f′（x₁）f′（x₂）=-1，代入导数的对应表达式，得出x₂-x₁的表达式，求出它的最小值即可．

解答： 解：根据导数的几何意义，得：
f′（x₁）f′（x₂）=-1，
即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1（x₁＜x₂＜0），
所以（2x₁+2）＜0，（2x₂+2）＞0，
且[-（2x₁+2）]（2x₂+2）=1，
因此x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

-(2x1+2)(2x2+2)

=1，
 当且仅当-（2x₁+2）=（2x₂+2）=1，
即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

时等号成立；
所以x₂-x₁的最小值为1．
故答案为：1．

点评：本题考查了导数的几何意义的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．