Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间（-π，0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期；
（2）x∈（-π，0），x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{5}{4}$π，-$\frac{π}{4}$），可得x=$\frac{π}{2}$时，sin（x-$\frac{π}{4}$）的最小值是-1，即可求f（x）在区间（-π，0）上的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+cosx）=sin（x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴T=2π；
（2）∵x∈（-π，0），∴x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{5}{4}$π，-$\frac{π}{4}$），
∴x=$\frac{π}{2}$时，sin（x-$\frac{π}{4}$）的最小值是-1，
∴f（x）在区间（-π，0）上的最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二倍角、辅助角公式，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．