Question

12．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（-∞，0]上是减函数，判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的判断．

Answer 1

分析 利用作差法．我们可以任取区间上满足x₁＜x₂的两个实数，再根据函数f（x）是奇函数，且在（-∞，0]上是减函数，易判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性

解答 解：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则-x₂＜-x₁＜0
又∵f（x）在（-∞，0]上是减函数，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），f（-x₁）=-f（x₁）
∴f（x₂）＜f（x₁），即f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了函数单调性和奇偶性的性质，考查函数单调性的判断与证明，体现了数学转化思想方法，是中档题．