Question

2．已知圆C：x²+y²-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称，则圆C中以（$\frac{a}{4}$，-$\frac{a}{4}$）为中点的弦长为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知直线3x-ay-11=0过圆心C（1，-2），从而得到a=4，点（1，-1）到圆心C（1，-2）的距离d=1，圆C：x²+y²-2x+4y=0的半径r=$\sqrt{5}$，由此能求出圆C中以（$\frac{a}{4}$，-$\frac{a}{4}$）为中点的弦长．

解答 解：∵圆C：x²+y²-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称，
∴直线3x-ay-11=0过圆心C（1，-2），
∴3+2a-11=0，解得a=4，
∴（$\frac{a}{4}$，-$\frac{a}{4}$）=（1，-1），
点（1，-1）到圆心C（1，-2）的距离d=$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1+2）^{2}}$=1，
圆C：x²+y²-2x+4y=0的半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16}$=$\sqrt{5}$，
∴圆C中以（$\frac{a}{4}$，-$\frac{a}{4}$）为中点的弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{5-1}$=4．
故选：D．

点评 本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、圆的性质的合理运用．