Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x²+（y-1）²=5，点A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若|OA|=|OM|，则直线AB的斜率为（　　）

• A． -2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 因为圆的半径为$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），连接CM，则CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．

解答 解：因为圆的半径为$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），连接CM，由题意CM⊥AB
因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=$\sqrt{5}$，
在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=$\frac{OM}{sin∠OCM}$，
根据题意，OA=OM=2，
所以，$\sqrt{5}$=$\frac{2}{sin∠OCM}$，
所以sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，tan∠OCM=-2（∠OCM为钝角），
而∠OCM与∠OAM互补，
所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．