Question

3．已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直）的体积为3$\sqrt{3}$cm³，所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为12πcm²．

Answer 1

分析 由题意可设正三角形的边长为a，侧棱为h，根据体积关系可以求得h=$\frac{12}{{a}^{2}}$，即可求出正三角形的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，进而空间几何关系可以求得球O的半径关于a的关系式，通过整理，拆分，灵活运用基本不等式，即可求出最值，但应当注意运用基本不等式取得等号的条件．

解答 解：设正三角形的边长为a，侧棱为h，则$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h$=3$\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{12}{{a}^{2}}$，
∵正三角形的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴球O的半径r为$\sqrt{\frac{1}{3}{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{4}}}$≥$\sqrt{3}$
当且仅当$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{108}{{a}^{4}}$时，球O的半径取得最小值，即a=$\sqrt{6}$，（舍去负值）．
∴球O的表面积的最小值为4πr²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质，考查学生的运算能力和空间形象能力，考查学生灵活运用基本不等式进行求解最值的能力，属于中档题．