Question

11．若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由已知直线ax+2by-2=0（a，b＞0）经过圆心（2，1），从而a+b=1，由此利用基本不等式性质能求出$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：∵直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，
∴直线ax+2by-2=0（a，b＞0）经过圆心（2，1），
∴2a+2b-2=0，即a+b=1，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}+\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{b}$+1
=$\frac{b}{2a}+\frac{a}{b}+\frac{3}{2}$
≥$\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{b}}$
=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查两数和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、基本不等式的性质的合理运用．