Question

20．已知圆C：x²-2x+y²+4y+1=0，经过点P（3，4）的直线分别与圆C相切于点A、B，则三角形ABC的面积等于$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 圆C圆心C（1，-2），半径r=2，当过点P（3，4）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=3，把x=3代入圆C，得A（3，-2），当过点P（3，4）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x-3）+4，由圆心（1，-2）到切线距离d=$\frac{|6-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，得切线方程为y=$\frac{4}{3}$（x-3）+4，把y=$\frac{4}{3}（x-3）+4$代入圆C得B（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），由此能求出三角形ABC的面积．

解答 解：圆C：x²-2x+y²+4y+1=0的圆心（1，-2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
当过点P（3，4）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=3，
圆心C（1，-2）到x=3的距离为2=r，满足条件，
把x=3代入圆C：x²-2x+y²+4y+1=0，得y²+4y+4=0，解得y=-2，
∴A（3，-2），
当过点P（3，4）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x-3）+4，
圆心（1，-2）到切线距离d=$\frac{|k+2-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|6-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{4}{3}$，∴切线方程为y=$\frac{4}{3}$（x-3）+4，
把y=$\frac{4}{3}（x-3）+4$代入圆C：x²-2x+y²+4y+1=0，得25x²+30x+9=0，
解得x=-$\frac{3}{5}$，y=-$\frac{4}{5}$，∴B（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{18}{5}$，$\frac{6}{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0），
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{36}{5}}{\frac{6\sqrt{10}}{5}×2}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{10}}）^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$
=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{10}}{5}×2×\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$．
∴三角形ABC的面积等于$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、切线方程、向量知识的合理运用．