Question

10．设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则当$\frac{xy}{z}$取得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值为3．

Answer 1

分析 将z=x²-3xy+4y²代入$\frac{z}{xy}$，利用基本不等式化简即可得到当$\frac{z}{xy}$取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值．

解答 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z为正实数，
∴$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3}$≥$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}-3}$=1（当且仅当x=2y时取“=”），
即x=2y（y＞0），$\frac{xy}{z}$取得最大值1．
z=x²-3xy+4y²=2y²，
∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$=-$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2}{y}$+2=-（$\frac{1}{y}$-1）²+3
∴y=1时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式，将z=x²-3xy+4y²代入$\frac{xy}{z}$，求得$\frac{xy}{z}$取得最大值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．