Question

19．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是ABCD正方形，侧棱AA₁⊥底面ABCD．已知AB=1，E为AB上一个动点，当D₁E+CE取得最小值$\sqrt{10}$时，三棱锥D₁-ADE的外接球表面积为$\frac{40π}{9}$．

Answer 1

分析 画出几何体的图形，连接D₁A延长至G使得AG=AD，连接C₁B延长至F使得BF=BC，连接EF，D₁F，则D₁F为D₁E+CE的最小值，求出AA₁=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．三棱锥D₁-ADE补成长方体，长宽高分别为1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其对角线长为$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，可得三棱锥D₁-ADE的外接球的半径，即可求出三棱锥D₁-ADE的外接球表面积．

解答 解：画出几何体的图形，连接D₁A延长至G使得AG=AD
连接C₁B延长至F使得BF=BC，连接EF，则ABFG为正方形，
连接D₁F，则D₁F为D₁E+CE的最小值：D₁F=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{1+A{{A}_{1}}^{2}}+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AA₁=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．
三棱锥D₁-ADE补成长方体，长宽高分别为1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其对角线长为$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱锥D₁-ADE的外接球的半径为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱锥D₁-ADE的外接球表面积为为$4π•\frac{10}{9}$=$\frac{40π}{9}$．
故答案为：$\frac{40π}{9}$．

点评 本题是中档题，考查正四棱柱表面距离的最小值问题，考查折叠与展开的关系，能够转化为平面上两点的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．