Question

9．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA₁的另一个交点为E，与CD₁的另一个交点为F，且AE⊥BA₁，则球O的表面积为8π．

Answer 1

分析 连结EF，DF，说明三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．

解答 解：连结EF，DF，易证得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，
∵AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABA₁=$\sqrt{3}$，即∠ABA₁=60°，
又AE⊥BA₁，
∴AE=$\sqrt{3}$，BE=1，
∴球O的半径R=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
球O表面积为：4πR²=4π$•（\sqrt{2}）^{2}$=8π．
故答案为：8π．

点评 本题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．