Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求{b_n}的通项公式．
（3）求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（2）对b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，两边同除以2ⁿ⁺¹，由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（3）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1；
上式对n=1也成立．
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
（2）证明：b_n+1-2b_n=8a_n=8•2^n-1=2ⁿ⁺²，
两边同除以2ⁿ⁺¹，可得
$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2，
可得数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为$\frac{{b}_{1}}{2}$=1，公差为2的等差数列；
即有$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
则{b_n}的通项公式为b_n=（2n-1）•2ⁿ；
（3）{b_n}的前n项和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
可得2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查构造数列法，求通项公式的方法，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．