Question

6．在体积为$\sqrt{3}$的三棱锥S-ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（　　）

• A． $\frac{20\sqrt{5}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． 20π
• D． 8π

Answer 1

分析 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

解答 解：三棱锥S-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴由余弦定理可得AC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆半径2r=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=4，即r=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin120°=$\sqrt{3}$，
∵三棱锥S-ABC的体积为$\sqrt{3}$，
∴S到底面ABC的距离h=3，
设O到平面ABC的距离为d
如图所示，由平面SAC⊥平面ABC，可得SD=3，
利用勾股定理可得R²=（3-d）²+（2-1）²，2²+d²=R²，
∴d=1，R=$\sqrt{5}$
球的体积：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{20\sqrt{5}}{3}$π．
故选：A．

点评 本题考查球的体积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．