Question

15．某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为x²万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式，但应当注意变量的范围；
（Ⅱ）运用导数求得函数的单调性，借以判断最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，L=x²（x-9）=x³-9x²，9≤x≤11．
（Ⅱ）L′=3x²-18x=3x（x-6），
令L′=0，∴x=0或x=6，
∴L′＞0在[9，11]上恒成立，即L在[9，11]上单调递增，
∴当x=11时，L取得最大值，
∴当每件产品的售价为11元时，分公司一年的利润L最大．

点评 本题主要考查了函数的导数的求法，以及利用导数求出函数的单调性，并用以求得函数的最值，属于中档题．