Question

16．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3
（1）求证：EG⊥DF；
（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，则可证AC⊥平面BDF，由四边形AEGC为平行四边形得出EG∥AC，故而EG⊥平面BDF，于是EG⊥DF；
（2）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{BE}$和平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞|即为所求角的正弦值．

解答 解：（1）连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵BF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BF，
又BD?平面BDF，BF?平面BDF，BD∩BF=B，
∴AC⊥平面BDF，
∵AE∥CG，AE=CG，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴EG∥AC，
∴EG⊥平面BDF，又DF⊆平面BDF，
∴EG⊥DF．
（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，
∵四边形ABCD为菱形，AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴AD∥BC，AE∥BF，
∴平面ADHE∥平面BCGF，
∴EH∥FG，
同理可得：EH∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点，
又O为AC的中点，∴OP∥AE，AE=OP，
∴OP⊥平面ABCD，
又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，
∵OP=$\frac{1}{2}$（BF+DH），∴BF=2．
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，
∵△ABD是等边三角形，AB=4，∴OA=2$\sqrt{3}$．
∴E（2$\sqrt{3}$，0，3），P（0，0，3），F（0，2，2），B（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（2$\sqrt{3}$，-2，3），$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{PF}$=（0，2，-1）．
设平面EFGH的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PE}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{PF}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow n=（{0，1，2}）$．
设BE与平面EFGH所成角为θ，则$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{BE}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{25}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．