Question

7．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．

Answer 1

分析 （I）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（II）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出$\overrightarrow{OF}$和平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即可求出a的值．

解答 证明：（I）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AE，又AC?平面ACFE，AE?平面ACFE，AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB为x轴，y轴，过O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，-$\sqrt{3}$，0），E（1，0，2），设CF=a，则F（-1，0，a）．
∴$\overrightarrow{OF}$=（-1，0，a），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2）．
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OF}|}$=$\frac{2+a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+1}}$．
∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴$\frac{2+a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得a=3或a=-$\frac{1}{3}$（舍）．
∴|CF|=3．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．