Question

9．设a为有理数，x为无理数，证明：
（1）a+x是无理数；
（2）当a≠0时，ax是无理数．

Answer 1

分析 利用反证法，结合任何有理数都可以表示为：$\frac{q}{p}$的形式，p，q都是整数；反过来也是一样，任何形如$\frac{q}{p}$形式的数都是一样，即可证明结论．

解答 证明：（1）任何有理数都可以表示为：$\frac{q}{p}$的形式，p，q都是整数；反过来也是一样，任何形如$\frac{q}{p}$形式的数都是有理数．
因为a是有理数，所以a=$\frac{q}{p}$．
若a+x是有理数，那么：a+x=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{q′}{p′}$-a=$\frac{q′}{p′}$-$\frac{q}{p}$=$\frac{pq′-qp′}{pp′}$，
那么x也是有理数，这与x是无理数矛盾．
所以a+x是无理数；
2）若ax是有理数，ax=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{pq′}{qp′}$，那么x也是有理数，与x是无理数矛盾．
所以当a≠0时，ax是无理数．

点评 本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．