Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，l)，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．
(Ⅰ)求椭圆的方程：
(Ⅱ)已知e=(t，0)，是否对任意的正实数t，λ，都有e·p=0成立？请证明你的结论。

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，
则，解得：，
∴椭圆的方程为。
(Ⅱ)若成立，
则向量与x轴垂直，
由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直，为此只需考查直线MA，MB倾斜角是否互补即可。
由已知，设直线l的方程为：y=x+m，
由，∴，
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可，
设，
则，
由可得，，
而


，
∴k₁+k₂=0，直线MA，MB的倾斜角互补。
故对任意的正实数t，λ，都有成立。