Question

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）利用二次函数的性质求得当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）证明：∵函数f（x）=-x²+2x，设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+（x22-x12）=（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]，
由题设可得（x₁-x₂）＜0，2-（x₁+x₂）＜0，∴（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）x∈[0，5]时，f（x）=-（x-1）²+1，故当x=1时，函数取得最大值为1；当x=5时，函数取得最小值为-15．

点评：本题主要考查用函数的单调性的定义证明函数的单调性，二次函数的性质的应用，属于基础题．