Question

记函数f_n(x)=(1+x)ⁿ-1(n≥2,n∈N^*)的导函数为f '_n(x),函数g(x)=f_n(x)-nx.

(Ⅰ)讨论函数g(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若实数x₀和正数k满足:,求证:0<x₀<k. 

Answer 1

　(Ⅰ)由已知得,g(x)=f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx,∴g'(x)=n[(1+x)^n-1-1].
①当n≥2且n是偶数时,n-1是奇数,

由g'(x)>0,得x>0;由g'(x)<0,得x<0.

∴函数g(x)的递减区间是(-∞,0),递增区间是(0,+∞),

故函数g(x)的极小值为g(0)=0,没有极大值.

②当n≥2且n是奇数时,n-1是偶数,

由g'(x)>0,得x<-2或x>0;由g'(x)<0,得-2<x<0.

∴函数g(x)的递增区间是(-∞,-2),(0,+∞),递减区间是(-2,0),

故函数g(x)的极大值为g(-2)=2n-2,极小值为g(0)=0.
 (Ⅱ)易知f '_n(x)=n(1+x)^n-1,由得:,

∴1+x₀=,

x₀=,

显然(n+1)[(1+k)ⁿ-1]>0,

设h(k)=(nk-1)(1+k)ⁿ+1(k>0),

则h'(k)=n(1+k)ⁿ+n(1+k)^n-1·(nk-1)=n(n+1)·k(1+k)^n-1>0.

∴h(k)是(0,+∞)上的增函数,∴h(k)>h(0)=0.

故x₀>0.
又x₀-k=,由(1)知,g(x)=(1+x)ⁿ-1-nx是(0,+∞)上的增函数,

故当x>0时,g(x)>g(0)=0,即(1+x)ⁿ>1+nx,

∴(1+k)ⁿ⁺¹>1+(n+1)k,∴x₀-k<0,x₀<k.

综上所述,0<x₀<k.