Question

已知函数，.

（1）证明：函数在区间上为增函数，并指出函数在区间上的单调性.

（2）若函数的图像与直线有两个不同的交点，，其中，求关于的函数关系式.

（3）求的取值范围.

Answer 1

（1）见解析；（2） ；（3）.

【解析】

试题分析：（1）用单调性的定义取值，做差，判断与零的关系，证明即可；（2）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故 ，易得mn的表达式，解之即可；（3）分两种情况，当 时，当 时，再由基本不等式可得．

试题解析： （1）证明：任取 且

所以f（x）在区间 上为增函数．函数f（x）在区间 上为减函数．

（2）因为函数f（x）在区间 上为增函数，相应的函数值为 ，在区间 上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，

又A，B两点的坐标满足方程

（3）当时，

当 时， 综上mn的取值范围为 ．

考点：函数的图象；函数单调性的性质．