Question

6．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，则$\overrightarrow{BE}$在$\overrightarrow{AD}$方向上的投影$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，求出A，B，D，E的坐标进一步得到$\overrightarrow{BE}$和$\overrightarrow{AD}$的坐标，求出$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{AD}$和$|\overrightarrow{AD}|$，则答案可求．

解答 解：如图，
以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
∵AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，
∴A（0，0），B（2，0），C（0，2），
则D（1，1），E（0，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AD}=（1，1），\overrightarrow{BE}=（-2，\frac{2}{3}）$．
则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{2}$．
∴$\overrightarrow{BE}$在$\overrightarrow{AD}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AD}|}=\frac{-\frac{4}{3}}{\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．