Question

已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a²+b²+

1

ab

的最小值为

17

2

．

Answer 1

分析：由题意，4a²+b²+

1

ab

=(2a+b)2+

1

ab

-4ab=1+

1

ab

-4ab，令ab=t，则4a²+b²+

1

ab

=1+

1

t

-4t，确定t的范围及y=

1

t

-4t单调递减，即可得出结论．

解答：解：4a²+b²+

1

ab

=(2a+b)2+

1

ab

-4ab=1+

1

ab

-4ab，
令ab=t，则4a²+b²+

1

ab

=1+

1

t

-4t．
∵正实数a，b满足2a+b=1，
∴1≥2

2ab

，
∴0＜ab≤

1

8

，
∴0＜t≤

1

8

，
由y=

1

t

-4t可得y′=-

1

t2

-4＜0，∴0＜t≤

1

8

时，y=

1

t

-4t单调递减，
∴y≥

15

2

，
∴4a²+b²+

1

ab

≥

17

2

．
故答案为：

17

2

．

点评：本题考查最值问题，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．