Question

19．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．

Answer 1

分析 利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得最大值．

解答 解：函数f（x）=asinx+3cosx=$\sqrt{{a}^{2}+9}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{3}{a}$．
∵sin（x+θ）的最大值为1．
∴函数f（x）的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+9}$，即$\sqrt{{a}^{2}+9}$=5
可得：a=±4．
故答案为：±4．

点评 本题考查了辅助角公式的运用和三角函数图象及性质的有界限．属于基础题．