Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知（2c-a）cosB=bcosA．
（1）求角B；
（2）若b=6，c=2a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理集合以下条件求出3边的长度，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）由（2c-a）cosB=bcosA，得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
即2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA，即2sinCcosB=sin（A+B），即2sinCcosB=sinC．
因为sinC≠0，所以$cosB=\frac{1}{2}$，而0＜B＜π，所以$B=\frac{π}{3}$．
（2）由b=6，$B=\frac{π}{3}$，得a²+c²-ac=36．
又因为c=2a，所以a²+4a²-2a²=36，即$a=2\sqrt{3}$，则$c=4\sqrt{3}$．
于是${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=6\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．