Question

3．已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≥2-|x+1|；
（2）若对于x，y∈R，有$|{x-y-1}|≤\frac{1}{3}$，$|{2y+1}|≤\frac{1}{6}$，求证：f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．

解答 解：（1）不等式化为|x+1|+|2x-1|≥2，
①当$x≥\frac{1}{2}$时，不等式为3x≥2，解得$x≥\frac{2}{3}$，故$x≥\frac{2}{3}$；
②当$-1≤x＜\frac{1}{2}$时，不等式为2-x≥2，解得x≤0，故-1≤x≤0；
③当x＜-1时，不等式为-3x≥2，解得$x≤-\frac{2}{3}$，故x＜-1，
综上，原不等式的解集为$\left\{{x|x≤0或x≥\frac{2}{3}}\right\}$；
（2）证明：f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1|≤2|x-y-1|+|2y+1|≤2×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$＜1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．