Question

13．在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C₁上任意一点，|PF₁|+|PF₂|的最大值为4．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设椭圆C₂：$\frac{{2{x^2}}}{a^2}+\frac{{2{y^2}}}{b^2}=1，Q（{{x_0}，{y_0}}）$为椭圆C₂上一点，过点Q的直线交椭圆C₁于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C₁于E，F两点．
（i）求证：直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2；
（ii）当Q在椭圆C₂上移动时，求$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆的定义，及椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆C₁方程；
（II）（i）由（I）可知求得椭圆C₁的方程，利用点差法及中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，直线AB的方程，由Q在椭圆C₁上，即可求得直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2；
（ii）求得直线EF的方程，代入椭圆C₁，求得E和F的方程，求得丨EF丨，将AB方程代入椭圆C₁方程，由韦达定理及弦长公式即可求丨AB丨，由Q在椭圆C₂上移动时，求得-1≤y₀≤1，即可求得$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$的取值范围．

解答 解：（I）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a²=2b²，
由|PF₁|+|PF₂|=2a，由|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{丨P{F}_{1}丨•丨P{F}_{2}丨}$，
则|PF₁||PF₂|≤（$\frac{丨P{F}_{1}丨+丨P{F}_{2}丨}{2}$）²=a²，
则a²=4，b²=2，
∴椭圆C₁的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（II）（i）由（I）可知：椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，Q（x₀，y₀），为C₂上一点，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减整理得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由Q为线段AB的中点，则-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{2{x}_{0}}{4{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
则直线AB的斜率k=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，则直线AB的方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，化简整理得：x₀x+2y₀y=2，
当y₀=0，则x₀=$\sqrt{2}$，直线AB的方程也满足x₀x+2y₀y=2，
综上可知直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2；
（ii）由直线EF的方程y₀x-x₀y=0，
联立EF与椭圆C₁的方程联立，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}x-{x}_{0}y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：E（$\sqrt{2}$x₀，$\sqrt{2}$y₀），F（-$\sqrt{2}$x₀，-$\sqrt{2}$y₀），
则丨EF丨=2$\sqrt{2{x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}}$，
联立直线AB与椭圆C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：2x²-4x₀x+4-8y₀²=0，x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2-4y₀²，
丨AB丨=$\sqrt{1+（\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}）^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}}{4{y}_{0}^{2}}}$$\sqrt{4{x}_{0}^{2}-8+16{y}_{0}^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}}{4{y}_{0}^{2}}}$$\sqrt{4（{x}_{0}^{2}-2）+16{y}_{0}^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}}{4{y}_{0}^{2}}}$$\sqrt{-8{y}_{0}^{2}+16{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{8{y}_{0}^{2}+2{x}_{0}^{2}}$，
则$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$=$\frac{\sqrt{8{y}_{0}^{2}+2{x}_{0}^{2}}}{2\sqrt{2{x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}}$．由x₀²=2-2y₀²，
$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4{y}_{0}^{2}+2-2{y}_{0}^{2}}{2-2{y}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{6}{2-{y}_{0}^{2}}-2}$，
由-1≤y₀≤1，$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2-{y}_{0}^{2}}$≤1，则$\frac{1}{2}$≤$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$≤1，
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{EF}|}}$的取值范围[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于难题．