Question

3．在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3-2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为-2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；
（3）设经过点F₁（-2$\sqrt{2}$，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由c=2$\sqrt{2}$，a-c=3-2$\sqrt{2}$．a=3，b²=a²-c²=1即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线方程为y=-2x+t，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，消去t，即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；方法二：利用设而不求法，将E和F坐标代入椭圆方程，作差，根据中点坐标公式，即可求得即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；
（3）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，根据函数的单调性即可求得△PQO的面积的最大值．

解答 解：（1）椭圆的焦点为${F_1}（-2\sqrt{2}，0），{F_2}（2\sqrt{2}，0）$，c=2$\sqrt{2}$，
由a-c=3-2$\sqrt{2}$．a=3，则b²=a²-c²=1
故曲线C的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）方法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），设直线方程为y=-2x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，$\frac{37}{9}{x}^{2}$-4tx+t²-1=0，$2x={x_1}+{x_2}=\frac{36}{37}t\;，\;2y={y_1}+{y_2}=-2（{x_1}+{x_2}）+2t=\frac{2}{37}t$，
∴x-18y=0，
$\left\{\begin{array}{l}{x-18y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，则x²=±$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，则-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，
∴线段EF的中点N的轨迹方程是：x-18y=0，-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，
方法2：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
∵A、B在曲线C上，
∴$x_1^2+9y_1^2=9$，$x_2^2+9y_2^2=9$．
将以上两式相减得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）+9（y₁-y₂）（y₂+y₂）=0，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{9（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
则-2=-$\frac{x}{9y}$，
∴线段EF的中点N的轨迹方程：x-18y=0，-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$；
（3）设直线PQ的方程是：my=x+2$\sqrt{2}$，x=my-2$\sqrt{2}$，
代入$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$得$（{m^2}+9）{y^2}-4\sqrt{2}my-1=0$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${y_1}+{y_2}=\frac{{4\sqrt{2}m}}{{{m^2}+9}}$，${y_1}•{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+9}}$，
则$|{y_1}-{y_2}|\;=6\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{m^2}+9）}^2}}}}$，
令t=m²+9≥9，$|{y_1}-{y_2}|\;=6\sqrt{\frac{t-8}{t^2}}=6\sqrt{-\frac{8}{t^2}+\frac{1}{t}}=6\sqrt{-8{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{16}）}^2}+\frac{8}{{{{16}^2}}}}$，
当t=16，即$m=±\sqrt{7}$时，
∴${（{S_{△OPQ}}）_{max}}=\frac{1}{2}|OF|•|{y_1}-{y_2}|\;=\frac{3}{2}$，
△PQO的面积的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，轨迹方程的求法，考查函数单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．