Question

18．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积为2+2π，则$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值为（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{3}π}}{6}+6$
• B． $\sqrt{3}π+7$
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由定积分求得a值，画出可行域，利用导数求斜率求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积为2+2π，
∴${∫}_{0}^{π}（sinx+a）dx=（-cosx+ax）{|}_{0}^{π}=2+2π$，
即2+aπ=2+2π，得a=2．
则不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤π\\ y≤sinx+a\\ y≥0\end{array}\right.$所对应的平面区域面积如图：

令z=$\sqrt{3}x+2y+1$，化为$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$，
设与直线为$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{z-1}{2}$平行的直线与曲线的切点为（x₀，sinx₀+2），
则由$cos{x}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${x}_{0}=\frac{5π}{6}$，
∴A（$\frac{5π}{6}，\frac{5}{2}$），
∴z=$\sqrt{3}x+2y+1$的最大值为$\frac{5\sqrt{3}π}{6}+6$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查微积分基本定理的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．