Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦点为F，不垂直x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l经过点P（2，0），则直线FA、FB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （I）联立方程组，根据根与系数的关系得出A，B两点坐标的关系，表示出直线AF，BF的斜率，计算斜率之和作出判断；
（II）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，根据根与系数的关系得出A，B两点坐标的关系，表示出直线AF，BF的斜率，令斜率之积为-1得出k，b的关系，代入距离公式得出d与b的关系，根据判别式得出b的范围，从而得出d的范围．

解答 解：（I）直线l的方程为y=k（x-2），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又F（1，0），∴k_FA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{k{x}_{1}-2k}{{x}_{1}-1}$，k_FB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{2}-2k}{{x}_{2}-1}$，
∴k_FA+k_FB=$\frac{k{x}_{1}-2k}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}-2k}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
又2kx₁x₂-3k（x₁+x₂）+4k=2k•$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-3k•$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4k=$\frac{16{k}^{3}-4k-24{k}^{3}+4k+8{k}^{3}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴k_FA+k_FB=0，
即直线FA、FB的斜率之和是定值0．
（II）设直线l的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（1+2k²）x²+4kbx+2（b²-1）=0，
∴△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）=8（2k²+1-b²）＞0，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则x₃+x₄=$\frac{-4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2（{b}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_FA=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}-1}$=$\frac{k{x}_{3}+b}{{x}_{3}-1}$，k_FB=$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}-1}$=$\frac{k{x}_{4}+b}{{x}_{4}-1}$，
若FA⊥FB，则$\frac{k{x}_{3}+b}{{x}_{3}-1}$•$\frac{k{x}_{4}+b}{{x}_{4}-1}$=-1，
即（k²+1）x₃x₄+（kb-1）（x₃+x₄）+b²+1=0，
∴（k²+1）•$\frac{2（{b}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$+（kb-1）•$\frac{-4kb}{1+2{k}^{2}}$+b²+1=0，
化简得3b²+4kb-1=0，即k=$\frac{1-3{b}^{2}}{4b}$，
代入判别式得△=b⁴+2b²+1＞0恒成立，
∴d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{\frac{（1-3{b}^{2}）^{2}}{16{b}^{2}}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{\frac{1}{{b}^{4}}+\frac{10}{{b}^{2}}+9}}$，
∵$\frac{1}{{b}^{4}}$+$\frac{10}{{b}^{2}}$+9＞9，
∴d＜$\sqrt{\frac{16}{9}}$=$\frac{4}{3}$．
∴d的取值范围是（0，9）．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系，直线与直线的位置关系，属于中档题．