Question

13．已知f（x）=|2ax+1|，（a∈R），不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若$|f（x）-2f（\frac{x}{2}）|≤k$恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出-2≤ax≤1，而不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}，根据对应关系求出a的值即可；
（2）问题转化为|2x+2|-|2x+1|≤|2x+2-2x-1|=1≤k，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）由|2ax+1|≤3，
得-3≤2ax+1≤3，
故-4≤2ax≤2，
故-2≤ax≤1，
而不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}，
故a=1；
（2）由（1）得：f（x）=|2x+1|，
f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）=|2x+1|-2|x+1|=|2x+1|-|2x+2|，
若$|f（x）-2f（\frac{x}{2}）|≤k$恒成立，
即|2x+2|-|2x+1|≤|2x+2-2x-1|=1≤k，
故k≥1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题．