Question

1．设D为不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{2x-y≥-1}\\{x-2y≤1}\end{array}}\right.$，表示的平面区域，点B（a，b）为第一象限内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y）都有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤1$成立，则a+b的最大值等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先画出可行域，利用数量积得到z=ax+by取最大值，分类得到点B（a，b）所满足的关系式，进一步利用线性规划知识求得a+b的最大值．

解答 解：∵点B（a，b）为第一象限内一点，∴a＞0，b＞0，
又区域D内的任一点A（x，y），
∴z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=ax+by$，
由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{2x-y≥-1}\\{x-2y≤1}\end{array}}\right.$作出可行域如图：

化z=ax+by为y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当$-\frac{a}{b}≤-1$，即a≥b时，
直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a，则a≤1；
当$-1＜-\frac{a}{b}＜0$，即a＜b时，直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过C（0，1）时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为b，则b≤1．
∴点B（a，b）满足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤1}\\{b＞0}\\{a≥b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0＜b≤1}\\{a＜b}\end{array}\right.$．
作出可行域如图：

令t=a+b，化为b=-a+t，由图可知，当直线b=-a+t过D（1，1）时，
直线在b轴上的截距最大，t有最大值为1+1=2．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．