Question

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）

• A． 必要不充分条件
• B． 充分不必要条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先根据题设条件求得cosC的表达式，进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式，二者相等化简整理求得b=c，进而判断出三角形为等腰三角形．

解答 解：∵当a=2bcosC时，
∴cosC=$\frac{a}{2b}$，∵cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{a}{2b}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，化简整理得b=c
∴△ABC为等腰三角形．
反之，“△ABC是等腰三角形，不一定有b=c，
从而a=2bcosC不一定成立．
则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件．
故选：B．

点评 本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断，解题的关键是利用了cosC这一桥梁完成了问题的转化．