Question

16．已知递增数列{a_n}，a₁=2，其前n项和为S_n，且满足${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，求其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，且满足${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$．n=2时，即可得出．
（2）由${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$得，${a_{n+1}}^2+2=3（{S_{n+1}}+{S_n}）$，可得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{S_{n+1}}-{S_{n-1}}）$，即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{a_{n+1}}+{a_n}）$，
化为a_n+1-a_n=3（n≥2）．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）数列{b_n}满足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，可得$\frac{b_n}{a_n}={2^n}$，即${b_n}=（3n-1）•{2^n}$，再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=2时，${a_2}^2+2=3（{S_2}+{S_1}）$，所以${a_2}^2+2=3（{a_2}+2{a_1}）$，即${a_2}^2-3{a_2}-10=0$，
依题意得，a₂=5或a₂=-2（舍去）；…（2分）
（2）由${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$得，${a_{n+1}}^2+2=3（{S_{n+1}}+{S_n}）$…（3分）
可得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{S_{n+1}}-{S_{n-1}}）$，即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{a_{n+1}}+{a_n}）$…（4分）
由递增数列{a_n}，a₁=2，可得a_n+1-a_n=3（n≥2）．又因为a₂-a₁=3…（5分）
所以数列{a_n}是首项为2，公差为3的等差数列，即a_n=2+3（n-1）=3n-1．…（6分）
上式对n=1也成立，故数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-1．…（7分）
（3）数列{b_n}满足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，可得$\frac{b_n}{a_n}={2^n}$，即${b_n}=（3n-1）•{2^n}$，…（8分）
前n项和${T_n}=2•{2^1}+5•{2^2}+8•{2^3}+…+（3n-4）•{2^{n-1}}+（3n-1）•{2^n}$，
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）•2ⁿ+（3n-1）•2ⁿ⁺¹．…9分
两式相减可得，$-{T_n}=2•{2^1}+（3•{2^2}+3•{2^3}+…+3•{2^n}）-（3n-1）•{2^{n+1}}$…（10分）$-{T_n}=4+\frac{{12（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（3n-1）•{2^{n+1}}$=3•2ⁿ⁺¹-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-8，…（11分）
化简可得，${T_n}=8+（3n-4）•{2^{n+1}}$…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．