Question

15．已知动点P位于抛物线y²=4x上，定点A_n的坐标为（$\frac{2}{3}$n，0）（n=1，2，3，4），则|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{20}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据向量坐标的运算以及向量模长公式，结合抛物线的性质，利用构造法转化为抛物线上的点到两点之间的距离和的最值问题进行求解即可．

解答 解：设P（x，y），则y²=4x，
则$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=（$\frac{2}{3}$-x，-y）+（$\frac{4}{3}$-x，-y）=（2-2x，-2y），$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$=（2-x，-y）+（$\frac{8}{3}$-x，-y）=（$\frac{14}{3}$-2x，-2y），
则|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|=$\sqrt{（2-2x）^{2}+4{y}^{2}}$+$\sqrt{（\frac{14}{3}-2x）^{2}+4{y}^{2}}$=2（$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{7}{3}）^{2}+{y}^{2}}$）
设P（x，y），F（1，0），F（$\frac{7}{3}$，0），
则$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$表示P到F点的距离PF，
$\sqrt{（x-\frac{7}{3}）^{2}+{y}^{2}}$表示P到E的距离PE
则过P作PD⊥准线l，
则PD=PQ，
则PE+PF=PD+PE≥BE=$\frac{7}{3}$-（-1）=$\frac{10}{3}$，
即|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|=2（PE+PF）≥$\frac{20}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查向坐标的运算和向量模长的计算，根据抛物线的性质，利用构造法抓好为两点间的距离是解决本题的关键．综合性较强．