Question

3．已知双曲线$\frac{x^2}{m^2}-{y^2}=1（m＞0）$与抛物线y²=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积等于1，则m=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据条件求出抛物线的渐近线，联立方程求出A，B的坐标，根据三角形的面积建立方程进行求解即可．

解答 解：抛物线的准线为x=-1，
当x=-1时，$\frac{1}{{m}^{2}}$-y²=1，
即y²=$\frac{1}{{m}^{2}}$-1=$\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}$，0＜m＜1，
则y=±$\sqrt{\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}}$，
设A（-1，$\sqrt{\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}}$），B（-1，-$\sqrt{\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}}$），
则AB=2•$\sqrt{\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}}$，
则S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{\frac{1-{m}^{2}}{{m}^{2}}}$×1=1，
即1-m²=m²，
则m²=$\frac{1}{2}$，
则m=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的应用，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．