Question

12．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与函数y=tan$\frac{x}{4}$的图象相交于A₁，A₂两点，若点P在椭圆C上，且直线PA₂的斜率的取值范围[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．

Answer 1

分析 椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与函数y=tan$\frac{x}{4}$的图象相交于A₁，A₂两点，可知：A₁，A₂两点关于原点对称，设A₁（x₁，y₁），A₂（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），分别代入椭圆方程可得：${y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．由于直线PA₂的斜率k₁的取值范围[-2，-1]，可得-2≤$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$≤-1，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=k₂，可得k₁k₂=$-\frac{3}{4}$．即可得出．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与函数y=tan$\frac{x}{4}$的图象相交于A₁，A₂两点，
∴A₁，A₂两点关于原点对称，设A₁（x₁，y₁），A₂（-x₁，-y₁），$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，${y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{x}_{1}^{2}）$．
设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，可得：${y}_{0}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{x}_{0}^{2}）$．
∴${y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
∵直线PA₂的斜率k₁的取值范围[-2，-1]，
∴-2≤$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$≤-1，
${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=k₂，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$-\frac{3}{4}$．
∴${k}_{1}=-\frac{3}{4{k}_{2}}$，
∴$-2≤-\frac{3}{4{k}_{2}}≤$-1，
解得$\frac{3}{8}≤{k}_{2}≤\frac{3}{4}$．
那么直线PA₁斜率的取值范围是$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．
故答案为：$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正切函数的对称性、“点差法”、斜率计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．