Question

13．若函数y=f（x）对?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）成立，且y=f（x）不是常值函数，则函数y=f（x）在区间[-3，3]上的零点至少有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 6个
• D． 7个

Answer 1

分析 根据条件对?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）成立，可得函数为奇函数且周期为2，根据周期性和奇函数性质可逐一判断函数的零点．

解答 解：f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（x），
∴函数的周期为2；f（x-1）=-f（1-x），
∴f（x）=-f（-x），
∴函数为奇函数，
∴f（0）=0，f（1）=0，
∴f（2）=0，f（3）=0，f（-1）=0，f（-2）=0，f（-3）=0，
故选D．

点评 考查了抽象函数的周期性和奇偶性及利用性质解决实际问题．数学常考题型，应熟练掌握．