Question

8．已知f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-x），则函数f（x）的最小正周期为2，若f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（$\frac{5π}{6}$+α）-sin²（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦函数周期公式即可求得f（x）的最小正周期，由f（x）=cos（x-$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即cos（x+$\frac{5π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin²（α-$\frac{π}{6}$）=1-cos²（α-$\frac{π}{6}$），即可求得结果．

解答 解：f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-x），由T=丨$\frac{2π}{ω}$丨=2，
f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-x）=cos（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（x+$\frac{5π}{6}$），
f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即）=-cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sin²（α-$\frac{π}{6}$）=1-cos²（α-$\frac{π}{6}$）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
cos（$\frac{5π}{6}$+α）-sin²（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2}{3}$=-$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：2，-$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查求余弦函数的周期，同角三角函数的基本关系，属于基础题．