Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax（a∈R）．
（1）若a=3，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的结论下，设g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x，求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系求解
（2）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．
（3）通过原函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．

解答：解：（1）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x，
f′（x）=2x+

1

x

-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

f'（x）＜0，即：2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（

1

2

，1）
（2）∵f′（x）=2x+

1

x

-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），若f（x）在（0，1）上是增函数，则2x²-ax+1≥0在（0，1）上恒成立．
即a≤2x+

1

x

在（0，1）上恒成立，而2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

．（（当且仅当x=

2

2

时取等号）
∴a≤2

2

．
（3）∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]
①当a≤1时，g（x）=e^2x+e^x-a=（ex+

1

2

）²-a-

1

4

，在e^x=1处取得最小值，∴g（x）_min=2-a
②当1＜a≤2

2

时，若e^x≥a，g（x）=e^2x+e^x-a=（ex+

1

2

）²-a-

1

4

，e^x∈[a，3]，在e^x=a处取得最小值，∴g（x）_min=a²，
若e^x_＜a，g（x）=e^2x-e^x+a=（ex-

1

2

）²+a-

1

4

，e^x∈[1，a]，在e^x=1处取得最小值，∴g（x）_min=a，
又1＜a≤2

2

，∴a²＞a，故此时g（x）_min=a，
综合①②g（x）_min=

2-a，     a≤1 a，         1＜a≤2 2

点评：本题考查函数导数与单调性的关系．解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；遇到含绝对值符号的函数一般将绝对值符号化去，写成分段函数形式求解．