Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．若PA=AD=3，CD=

6

．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点G，连接EG，FG，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用线面、面面垂直的判定与性质、线面角的定义即可得出‘

解答：（1）证明：取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，
则  F G 

∥ .

.

1

2

CD．
又由已知有AE∥

1

2

CD，∴FG∥AE．
∴四边形AEGF是平行四边形．
∴AF∥EG．
又∵AF?平面 PEC，EG?平面PCE．
∴AF∥平面PCE．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD. 由ABCD是矩形有CD⊥AD. ∴CD⊥平面PAD. ∴AF⊥CD 又PA=AD=3，F是PD的中点， ∴AF⊥PD. ∵PD∩CD=D， ∴AF⊥平面PCD. 由EG∥AF，

∴EG⊥平面PCD. ∴平面PCD内，过F作FH⊥PC于H， 由于平面PCD∩平面PCE=PC，

故∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角．由已知可得PD=3

2

，PF=

3

2

2

，PC=2

6

．
∵CD⊥平面PAD，
∴∠CPD=30°．
∴FH=

1

2

PF=

3

4

2

.

∴FC= CD2+FD2 = 42 2 . ∴sinFCH= FH FC = 21 14

∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为

21

14

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面、面面垂直的判定与性质、线面角的定义等是解题的关键．