Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f（

1

2

）=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=-

1

2

；②f（-1）=-

3

2

；③f（x）为R上减函数；④f（x）+

1

2

为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．

解答：解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+

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2

，即f（0）=-

1

2

，故①正确；
取x=

1

2

，y=-

1

2

代入可得f（0）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+

1

2

，即-

1

2

=0+f（-

1

2

）+

1

2

，解得f（-

1

2

）=-1，
再令x=y=-

1

2

代入可得f（-1）=f（-

1

2

）+f（-

1

2

）+

1

2

=-2+

1

2

=-

3

2

，故②正确；
令y=-x代入可得-

1

2

=f（0）=f（x）+f（-x）+

1

2

，即f（x）+

1

2

+f（-x）+

1

2

=0，故f（x）+

1

2

为奇函数，④正确；
取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+

1

2

，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+

1

2

=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）为R上减函数，错误；
⑤错误，因为f（x）+1=f（x）+

1

2

+

1

2

，由③可知g（x）=f（x）+

1

2

为奇函数，故g（-x）+

1

2

-g（x）-

1

2

=-2g（x）不恒为0，
故函数f（x）+1不是偶函数
故答案为：①②④

点评：本题考查命题真假的判断，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．