Question

14．在平面直角坐标系xOy内，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA²+CB²的取值范围；
（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$，得a，b即可
（2）A（2，$\sqrt{2}$），B（2，-$\sqrt{2}$），设点C（x₀，y₀），则CA²+CB^2=（x₀-2）²+（y₀-$\sqrt{2}$）²+_^（x0-2）²+（y₀+$\sqrt{2}$）²=2x₀²+2y₀²-8x₀+12，又点C在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，消去y₀得CA²+CB²⁼${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$，${x}_{0}∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，即可求解．
（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由PF平分∠APB知：k_AP+k_BP=0，又k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-t）+{y}_{2}（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，利用韦达定理即可求解．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$，得a=2$\sqrt{2}$，c=2，…（2分）
∵a²=b²+c²，∴b²=4，∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（2）当直线AB与x轴垂直时，A（2，$\sqrt{2}$），B（2，-$\sqrt{2}$），设点C（x₀，y₀），
则CA²+CB^2=（x₀-2）²+（y₀-$\sqrt{2}$）²+_^（x0-2）²+（y₀+$\sqrt{2}$）²=2x₀²+2y₀²-8x₀+12，
又点C在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，消去y₀得CA²+CB²⁼${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$，${x}_{0}∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，
∴CA²+CB²得取值范围为[28-16$\sqrt{2}$，28+16$\sqrt{2}$]．…（8分）
（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为：x=my+2，联列$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，消去x得（m²+2）y²+4my-4=0，
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-4}{{m}^{2}+2}$，…（12分）
由PF平分∠APB知：k_AP+k_BP=0，…（13分）
又k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-t）+{y}_{2}（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
又x₁=my₁+2，x₂=my₂+t，得（2-t）（y₁+y₂）+2my₁y₂=0，
即（2-t）×$\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$+2m×$\frac{-4}{{m}^{2}+2}$=0，得t=4，
所以存在点P（4，0）满足题意．           …（16分）

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想、转化思想，属于中档题．