Question

5．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，则a₁₀₀=$\frac{1}{9900}$．

Answer 1

分析 由题意可得a_n+1=S_nS_n+1=S_n+1-S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，运用等差数列的通项公式可得S_n=-$\frac{1}{n}$，再由a₁₀₀=S₁₀₀-S₉₉，计算即可得到所求值．

解答 解：a₁=-1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，
可得a_n+1=S_nS_n+1=S_n+1-S_n，
可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
即有S_n=-$\frac{1}{n}$，
则a₁₀₀=S₁₀₀-S₉₉=-$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{99}$=$\frac{1}{9900}$．
故答案为：$\frac{1}{9900}$．

点评 本题考查数列的通项与求和的递推关系，考查等差数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．