Question

20．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤6}\\{x≥1}\end{array}$，则z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）的最大值是（　　）

• A． ${log_{（{\frac{1}{2}}）}}7$
• B． ${log_{（{\frac{1}{2}}）}}5$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据图象，去掉绝对值，结合对数的运算性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知y＞0，x≤2，
设m=2|x-2|+|y|，
则m=y-2（x-2）=y-2x+4，
即y=2x+m-4，
平移直线y=2x，由图象知当直线y=2x+z-4经过点C时，直线的截距最小，此时z最小，
z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（2，4），
此时z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$4=-2，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据图象确定x，y的范围是解决本题的关键．